Question

9．過圓外一點P作圓的兩條切線和一條割線，切點為A，B，所作割線交圓于C，D兩點，C在P，D之間，在弦CD上取一點Q，使∠DAQ=∠PBC．求證：∠DBQ=∠PAC．

Answer 1

分析 利用三角形相似的判定與性質(zhì)，證明△ADQ∽△DBQ，得出∠ADQ=∠DBQ=∠PAC．

解答 解：如圖所示，

連接AB，∵△PBC∽△PDB，
∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{PD}{PB}$，
同理$\frac{AD}{AC}$=$\frac{PD}{PA}$；
又PA=PB，
∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{AD}{AC}$，即$\frac{BD}{AD}$=$\frac{BC}{AC}$；
又∠BAC=∠PBC=∠DAQ，
∴∠BAC=∠ADQ，
∴△ABC∽ADQ，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{DQ}{AQ}$，
∴$\frac{BD}{AD}$=$\frac{DQ}{AQ}$，
又∠DAQ=∠DBC=∠BDQ，
∴△ADQ∽△DBQ，
∴∠ADQ=∠DBQ=∠PAC．

點評 本題考查了圓的切線長定理與切割線定理，也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是綜合性題目．