Question

18．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，F(xiàn)₁、F₂為其左、右焦點(diǎn)，M為橢圓E上一點(diǎn)，且△MF₁F₂面積的最大值為4$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)l：y=x+m（m∈R）與橢圓E交于不同兩點(diǎn)A、B，且|AB|=3$\sqrt{2}$，P為直線(xiàn)y=2上一點(diǎn)，滿(mǎn)足|$\overrightarrow{PA}$|=|$\overrightarrow{PB}$|，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用離心率公式和三角形的面積公式，結(jié)合橢圓的范圍，可得a，b，c的方程，解得a，b，即可得到所求橢圓方程；
（2）將直線(xiàn)l：y=x+m（m∈R）代入橢圓方程x²+3y²=12，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，解得m，可得A，B的坐標(biāo)，運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩直線(xiàn)垂直的條件：斜率之積為-1，可得P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
△MF₁F₂面積的最大值為$\frac{1}{2}$•2c•b=4$\sqrt{2}$，
又a²-b²=c²，
解得a=2$\sqrt{3}$，b=2，c=2$\sqrt{2}$，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）將直線(xiàn)l：y=x+m（m∈R）代入橢圓方程x²+3y²=12，
可得4x²+6mx+3m²-12=0，
即有x₁+x₂=-$\frac{3m}{2}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-12}{4}$，
|AB|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{9{m}^{2}}{4}-\frac{12{m}^{2}-48}{4}}$=3$\sqrt{2}$，
解得m=±2，
當(dāng)m=2時(shí)，可得A（0，2），B（-3，-1），
中點(diǎn)M為（-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），
由|$\overrightarrow{PA}$|=|$\overrightarrow{PB}$|，可得PM⊥AB，
設(shè)P（t，2），即有$\frac{2-\frac{1}{2}}{t+\frac{3}{2}}$=-1，
解得t=-3，即P（-3，2）；
當(dāng)m=-2時(shí)，可得A（0，-2），B（3，1），
中點(diǎn)M為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
由|$\overrightarrow{PA}$|=|$\overrightarrow{PB}$|，可得PM⊥AB，
設(shè)P（t，2），即有$\frac{2+\frac{1}{2}}{t-\frac{3}{2}}$=-1，
解得t=-1，即P（-1，2）．
綜上可得P的坐標(biāo)為（-3，2）或（-1，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式和橢圓的性質(zhì)，考查直線(xiàn)方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，考查兩直線(xiàn)垂直的條件：斜率之積為-1，屬于中檔題．