Question

11．設(shè)集合M={a|a=b²-c²，b，c∈Z}，試問：
（1）8，9，10是否屬于M？
（2）奇數(shù)是否屬于M，為什么？

Answer 1

分析 （1）將a=8，9，10分別代入關(guān)系式a=b²-c²驗(yàn)證，若滿足關(guān)系式則屬于M；若不滿足關(guān)系式則不屬于M；（2）設(shè)奇數(shù)為2n+1，n∈Z，則恒有2n+1=（n+1）²-n²，根據(jù)集合M元素的性質(zhì)，可得奇數(shù)a∈M．

解答 解：（1）∵8=3²-1，9=5²-4²，∴8∈M，9∈M，
假設(shè)10=b²-c²，b、c∈Z，
則（|b|+|c|）（|b|-|c|）=10，且|b|+|c|＞|b|-|c|＞0，
∵10=1×10=2×5，∴$\left\{\begin{array}{l}{|b|+|c|=1}\\{|b|-|c|=10}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{|b|+|c|=2}\\{|b|-|c|=5}\end{array}\right.$，
顯然均無整數(shù)解，則10∉M，
∴8∈M，9∈M，10∉M，
（2）設(shè)奇數(shù)為2n+1，n∈Z，
則恒有2n+1=（n+1）²-n²，∴2n+1∈M，
即一切奇數(shù)都屬于M．

點(diǎn)評 本題考查元素與集合關(guān)系的判斷、奇數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．