9.設(shè)函數(shù)f(x)=|$\frac{4}{x}$-ax|,若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)a,總存在x0∈[1,4],使得f(x0)≥m,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為( 。
A.(-∞,0]B.(-∞,1]C.(-∞,2]D.(-∞,3]

分析 對(duì)任意的正實(shí)數(shù)a,總存在x0∈[1,4],使得f(x0)≥m?m≤f(x)max,x∈[1,4].令u(x)=$\frac{4}{x}$-ax,a>0,可得函數(shù)u(x)在x∈[1,4]單調(diào)遞減,u(x)max=u(1)=4-a,u(x)min=1-4a.對(duì)a分類(lèi)討論即可得出.

解答 解:對(duì)任意的正實(shí)數(shù)a,總存在x0∈[1,4],使得f(x0)≥m?m≤f(x)max,x∈[1,4].
令u(x)=$\frac{4}{x}$-ax,∵a>0,∴函數(shù)u(x)在x∈[1,4]單調(diào)遞減,
∴u(x)max=u(1)=4-a,u(x)min=1-4a.
①a≥4時(shí),0≥4-a>1-4a,則f(x)max=a-1≥3.
②4>a>1時(shí),4-a>0>1-4a,則f(x)max={4-a,a-1}max<3.
③a≤1時(shí),4-a>1-4a≥0,則f(x)max=4-a≥3.
綜上①②③可得:m≤3.
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-∞,3].
故選:D.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了含絕對(duì)值函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法,考查了分類(lèi)討論方法、推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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