Question

19．如圖，△ABC的內(nèi)切圓I切AB、BC、AC于點(diǎn)D、E、F．直線EF與AI、BI、DI交于點(diǎn)M、N、K．求證：DM•KE=DN•KF．

Answer 1

分析 由三角形全等推導(dǎo)出I為△MDN的內(nèi)心，從而DK為∠MDN的角平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理能證明DM•KE=DN•KF．

解答 證明：∵△ABC的內(nèi)切圓I切AB、BC、AC于點(diǎn)D、E、F，∴AD=AF，
∵I是△ABC的內(nèi)心，∴∠FAI=∠IAD，且AM=AM，
∴△FAM≌△DAM，
∴DM=MF，∠FMA=∠DMA，
同理得DN=EN，∠MNB=∠DNB，
∴I為△MDN的內(nèi)心，∴DK為∠MDN的角平分線，
∴根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理，得$\frac{KM}{KN}=\frac{MD}{DN}$，
∴$\frac{KM}{KN}=\frac{MD}{DN}=\frac{MF}{EN}=\frac{MF-KM}{EN-KN}=\frac{KF}{KE}$，
∴DM•KE=DN•KF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩組線段乘積相等的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意三角形全等、角平分線性質(zhì)定理的合理運(yùn)用．