Question

11．已知在平面直角坐標系中，$\left\{\begin{array}{l}{x≤2}\\{x+y≥4}\\{x-y≥-2}\end{array}\right.$，表示的平面區(qū)域為Ω，O（0，0），A（1，0），若M∈Ω．則$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OM}}{|\overrightarrow{OM}|}$的取值范圍是[-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用平面向量的數(shù)量積進行轉(zhuǎn)化，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．

解答 解：$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OM}}{|\overrightarrow{OM}|}$=|$\overrightarrow{OA}$|•$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OM}}{|\overrightarrow{OM}|•|\overrightarrow{OA}|}$=|$\overrightarrow{OA}$|•cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OM}$＞，
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由圖象知當M位于B時$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OM}$的夾角最小，
當M位于C時$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OM}$的夾角最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{x+y=4}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，此時B（2，2），則cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OM}$＞=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=4}\\{x-y=-2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，此時C（1，3），則cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OM}$＞=$\frac{1}{\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
故-$\frac{\sqrt{10}}{10}$≤cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OM}$＞≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即-$\frac{\sqrt{10}}{10}$≤$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OM}}{|\overrightarrow{OM}|}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案為：[-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用平面向量的數(shù)量積進行轉(zhuǎn)化以及利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．