Question

10．M為△ABC的中線AD的中點，過點M的直線分別交兩邊AB，AC于點P，Q，設$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AQ}=y\overrightarrow{AC}$，記y=f（x）．
（1）求函數y=f（x）的表達式；
（2）求$\frac{{{S_{△APQ}}}}{{{S_{△ABC}}}}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由D為BC的中點，M為AD的中點，$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AQ}=y\overrightarrow{AC}$，結合平面向量的基本定理及三點共線的充要條件，可得關于xy的方程，進而可得函數y=f（x）的表達式；
（2）設△ABC的面積為1，則△APQ的面積S=xy=$\frac{{x}^{2}}{4x-1}$，（$\frac{1}{3}$≤x≤1），利用導數法，求出函數的值域，可得答案．

解答 解：（1）如圖所示：
∵D為BC的中點，M為AD的中點，
∴$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$，
又∵PQM三點共線，
故$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{AP}$+（1-λ）$\overrightarrow{AQ}$=$\overrightarrow{AB}+（1-λ）y\overrightarrow{AC}$，
故$\left\{\begin{array}{l}λx=\frac{1}{4}\\（1-λ）y=\frac{1}{4}\end{array}\right.$，
故$\frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}$=1，
即y=f（x）=$\frac{x}{4x-1}$，（$\frac{1}{3}$≤x≤1）
（2）設△ABC的面積為1，
則△APQ的面積S=xy=$\frac{{x}^{2}}{4x-1}$，（$\frac{1}{3}$≤x≤1）
故S′=$\frac{4{x}^{2}-2x}{（4x-1）^{2}}$，
當$\frac{1}{3}$≤x$＜\frac{1}{2}$時，S′＜0，函數為減函數，
當$\frac{1}{2}$＜x≤1時，S′＞0，函數為增函數，
故當x=$\frac{1}{2}$時，S取最小值$\frac{1}{4}$，
當x=$\frac{1}{3}$，或x=1時，S取最大值$\frac{1}{3}$，
故$\frac{{{S_{△APQ}}}}{{{S_{△ABC}}}}$∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$]．

點評 本題考查的知識點是函數的解析式的求解，向量的線性運算，向量共線的充要條件，三角形面積公式，難度中檔．