Question

20．對于a，b∈R，定義運算“?”：$a?b=\left\{{\begin{array}{l}{{a^2}-ab，a≤b}\\{{b^2}-ab，a＞b}\end{array}}\right.$，設(shè)f（x）=（2x-1）?（x-1），且關(guān)于x的方程f（x）=t（t∈R）恰有三個互不相等的實數(shù)根x₁，x₂，x₃，則x₁+x₂+x₃的取值范圍是（　�。�

• A． $（\frac{{5-\sqrt{3}}}{4}，1）$
• B． $（1，\frac{{5+\sqrt{3}}}{4}）$
• C． $（\frac{1}{2}，1）$
• D． （1，2）

Answer 1

分析 根據(jù)所給的新定義，寫出函數(shù)的分段形式的解析式，畫出函數(shù)的圖象，在圖象上可以看出當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有三個不同的交點時m的取值，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系，寫出兩個根的積和第三個根，表示出三個根之和，并判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域，得到結(jié)果．

解答 解：∵2x-1≤x-1時，有x≤0，
∴根據(jù)題意得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（2x-1）^{2}-（2x-1）（x-1），x≤0\\（x-1）^{2}-（2x-1）（x-1），x＞0\end{array}\right.$，
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}2{x}^{2}-x，x≤0\\{-x}^{2}+x，x＞0\end{array}\right.$，
畫出函數(shù)的圖象，如下圖所示：

從圖象上觀察當(dāng)關(guān)于x的方程為f（x）=t（t∈R）恰有三個互不相等的實數(shù)根時，t的取值范圍是（0，$\frac{1}{4}$），
當(dāng)-x²+x=t時，有x₁+x₂=1，
當(dāng)2x²-x=t時，由于直線與拋物線的交點在y軸的左邊，得到x₃=$\frac{1-\sqrt{1+8t}}{4}$，
∴x₁+x₂+x₃=1+$\frac{1-\sqrt{1+8t}}{4}$=$\frac{5-\sqrt{1+8t}}{4}$，t∈（0，$\frac{1}{4}$），
令y=$\frac{5-\sqrt{1+8t}}{4}$，t∈（0，$\frac{1}{4}$），則函數(shù)是減函數(shù)，
又由t=0時，y=1，t=$\frac{1}{4}$時，y=$\frac{5-\sqrt{3}}{4}$，
故x₁+x₂+x₃的取值范圍是$（\frac{5-\sqrt{3}}{4}，1）$，
故選：A

點評 本題考查分段函數(shù)的圖象，考查新定義問題，這種問題解決的關(guān)鍵是根據(jù)新定義寫出符合條件的解析式，本題是一個綜合問題，難度中檔．