Question

2．在公比為2的等比數(shù)列{a_n}中，a₂與a₃的等差中項(xiàng)是9$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求a₁的值；
（Ⅱ）若函數(shù)y=|a₁|sin（$\frac{π}{4}$x+φ），|φ|＜π，的一部分圖象如圖所示，M（-1，|a₁|），N（3，-|a₁|）為圖象上的兩點(diǎn)，設(shè)∠MPN=β，其中P與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，0＜β＜π，求tan（φ-β）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．
（Ⅱ）根據(jù)三角函數(shù)的圖象確實(shí)A，ω和φ的值即可．

解答 解：（Ⅰ） 解：由題可知${a_2}+{a_5}=18\sqrt{3}$，又a₅=8a₂，（3分）
故${a_2}=2\sqrt{3}$，
∴a₁=$\sqrt{3}$  （5分）
（Ⅱ）∵點(diǎn)M（-1，|a₁|），在函數(shù)y=|a₁|sin（$\frac{π}{4}$x+φ），|φ|＜π的圖象上，
∴sin（-$\frac{π}{4}$+φ）=1，
又∵|φ|＜π，∴φ=$\frac{3π}{4}$   （7分）

如圖，連接MN，在△MPN中，由余弦定理得

$cosβ=\frac{{{{|{PM}|}^2}+{{|{PN}|}^2}-{{|{MN}|}^2}}}{{2|{PM}||{PN}|}}=\frac{4+12-28}{{8\sqrt{3}}}=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
又∵0＜β＜π，∴$β=\frac{5}{6}π$（9分）

∴$ϕ-β=-\frac{π}{12}$，
∴tan（φ-β）=-tan$\frac{π}{12}$=-tan（$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{6}$）=-2+$\sqrt{3}$  （12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合，根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．