Question

2．在公比為2的等比數列{a_n}中，a₂與a₃的等差中項是9$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求a₁的值；
（Ⅱ）若函數y=|a₁|sin（$\frac{π}{4}$x+φ），|φ|＜π，的一部分圖象如圖所示，M（-1，|a₁|），N（3，-|a₁|）為圖象上的兩點，設∠MPN=β，其中P與坐標原點O重合，0＜β＜π，求tan（φ-β）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據等比數列和等差數列的性質進行求解即可．
（Ⅱ）根據三角函數的圖象確實A，ω和φ的值即可．

解答 解：（Ⅰ） 解：由題可知${a_2}+{a_5}=18\sqrt{3}$，又a₅=8a₂，（3分）
故${a_2}=2\sqrt{3}$，
∴a₁=$\sqrt{3}$  （5分）
（Ⅱ）∵點M（-1，|a₁|），在函數y=|a₁|sin（$\frac{π}{4}$x+φ），|φ|＜π的圖象上，
∴sin（-$\frac{π}{4}$+φ）=1，
又∵|φ|＜π，∴φ=$\frac{3π}{4}$   （7分）

如圖，連接MN，在△MPN中，由余弦定理得

$cosβ=\frac{{{{|{PM}|}^2}+{{|{PN}|}^2}-{{|{MN}|}^2}}}{{2|{PM}||{PN}|}}=\frac{4+12-28}{{8\sqrt{3}}}=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
又∵0＜β＜π，∴$β=\frac{5}{6}π$（9分）

∴$ϕ-β=-\frac{π}{12}$，
∴tan（φ-β）=-tan$\frac{π}{12}$=-tan（$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{6}$）=-2+$\sqrt{3}$  （12分）

點評 本題主要考查數列與三角函數的綜合，根據等比數列和等差數列的性質結合三角函數的圖象和性質是解決本題的關鍵．