Question

17．某精密儀器生產(chǎn)有兩道相互獨立的先后工序，每道工序都要經(jīng)過相互獨立的工序檢查，且當(dāng)?shù)谝坏拦ば驒z查合格后才能進(jìn)入第二道工序，兩道工序都合格，產(chǎn)品才完全合格，．經(jīng)長期監(jiān)測發(fā)現(xiàn)，該儀器第一道工序檢查合格的概率為$\frac{8}{9}$，第二道工序檢查合格的概率為$\frac{9}{10}$，已知該廠三個生產(chǎn)小組分別每月負(fù)責(zé)生產(chǎn)一臺這種儀器．
（I）求本月恰有兩臺儀器完全合格的概率；
（Ⅱ）若生產(chǎn)一臺儀器合格可盈利5萬元，不合格則要虧損1萬元，記該廠每月的贏利額為ξ，求ξ的分布列和每月的盈利期望．

Answer 1

分析 （I）求出每生產(chǎn)一臺合格儀器的概率，利用獨立重復(fù)試驗的概率公式求本月恰有兩臺儀器完全合格的概率；
（II）根據(jù)題意得到變量的可能的取值，根據(jù)變量對應(yīng)的事件，利用獨立重復(fù)試驗的概率公式得到概率，寫出分布列，根據(jù)做出的變量的分布列，代入求期望值的公式做出期望值

解答 解：（Ⅰ） 設(shè)恰有兩臺儀器完全合格的事件為A，每臺儀器經(jīng)兩道工序檢驗完全合格的概率為$P=\frac{8}{9}×\frac{9}{10}{=}\frac{4}{5}$…（2分）
所以$P（A）={C_3}^2{p^2}（1-p）={C_3}^2{（\frac{4}{5}）^2}（1-\frac{4}{5}）=\frac{48}{125}$…（5分）
（Ⅱ） 每月生產(chǎn)的儀器完全合格的臺數(shù)可為3，2，1，0四種
所以贏利額ξ的數(shù)額可以為15，9，3，-3…（7分）
當(dāng)ξ=15時，$P（ξ=15）={C_3}^3{（\frac{4}{5}）^3}=\frac{64}{125}$
當(dāng)ξ=9時，$P（ξ=9）={C_3}^2{（\frac{4}{5}）^2}\frac{1}{5}=\frac{48}{125}$
當(dāng)ξ=3時，$P（ξ=3）={C_3}^1\frac{4}{5}{（\frac{1}{5}）^2}=\frac{12}{125}$
當(dāng)ξ=-3時，$P（ξ=-3）={C_3}^0{（\frac{1}{5}）^3}=\frac{1}{125}$…（10分）
每月的盈利期望$Eξ=15×\frac{64}{125}+9×\frac{48}{125}+3×\frac{12}{125}+（-3）\frac{1}{125}=\frac{57}{5}=10.14$
所以每月的盈利期望值為10.14萬元…（12分）

點評 本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，獨立重復(fù)試驗的概率公式，本題解題的關(guān)鍵是看出所給的變量符合什么規(guī)律，利用概率的公式來解題．