Question

4．設(shè)拋物線y=mx²（m≠0）的準(zhǔn)線與直線y=1的距離為3，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線y=mx²寫出它的準(zhǔn)線方程y=-$\frac{1}{4m}$，再根據(jù)準(zhǔn)線與直線y=1的距離為3，對m的正負(fù)進(jìn)行討論，即可求得m的值，進(jìn)而求得拋物線的方程．

解答 解：當(dāng)m＞0時，準(zhǔn)線方程為y=-$\frac{1}{4m}$，1+$\frac{1}{4m}$=3，
∴m=$\frac{1}{8}$，
此時拋物線方程為y=$\frac{1}{8}$x²；
當(dāng)m＜0時，準(zhǔn)線方程為y=-$\frac{1}{4m}$，-$\frac{1}{4m}$-1=3，
∴m=-$\frac{1}{16}$，
此時拋物線方程為y=-$\frac{1}{16}$x²；
∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²=8y或x²=-16y．
故答案為：x²=8y或x²=-16y．

點(diǎn)評 此題是個中檔題．考查拋物線的定義和簡單的幾何性質(zhì)，以及待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，特別是解析幾何，一定注意對幾何圖形的研究，以便簡化計(jì)算．