Question

5．已知函數(shù)f（x）=$cosx•sin（x+\frac{π}{6}）$
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；’
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向下平移$\frac{1}{4}$個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求使g（x）＞$\frac{1}{2}$成立的x的取值集合．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性，求得它的最小正周期．
（2）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象特征，求得g（x）＞$\frac{1}{2}$的解集．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$cosx•sin（x+\frac{π}{6}）$=cosx（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x+$\frac{1+cos2x}{4}$=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{4}$，
∴它的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π．
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向下平移$\frac{1}{4}$個(gè)單位，可得函數(shù)y=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）的圖象；
再將圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=g（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）的圖象，
由g（x）＞$\frac{1}{2}$，可得sin（2x+$\frac{π}{6}$）＞$\frac{1}{2}$，∴2kπ+$\frac{π}{6}$＜2x+$\frac{π}{6}$＜2kπ+$\frac{5π}{6}$，
求得kπ＜x＜kπ+$\frac{π}{3}$，故使不等式成立的x的取值集合為（kπ，kπ+$\frac{π}{3}$ ），k∈Z．

點(diǎn)評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象特征，屬于基礎(chǔ)題．