Question

15．已知a＞0，b＞0，c＞0．
（1）若a+b=2，求證：ab（$\sqrt{a}$+$\sqrt$）≤2；
（2）若abc（a+b+c）=1，求（a+b）（b+c）的最小值．

Answer 1

分析 （1）由基本不等式可得ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²=1，$\sqrt{a}$+$\sqrt$≤2，累乘即可得證；
（2）abc（a+b+c）=1，可得b（a+b+c）=$\frac{1}{ac}$，可得（a+b）（b+c）=ac+b（a+b+c）=ac+$\frac{1}{ac}$，再議基本不等式可得最小值．

解答 解：（1）證明：由a，b＞0，a+b=2，
可得ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²=1，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1取得等號(hào)；
（$\sqrt{a}$+$\sqrt$）²=a+b+2$\sqrt{ab}$≤2+2=4，
即有$\sqrt{a}$+$\sqrt$≤2，
則ab（$\sqrt{a}$+$\sqrt$）≤2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1取得等號(hào)）；
（2）abc（a+b+c）=1，可得b（a+b+c）=$\frac{1}{ac}$，
則（a+b）（b+c）=ac+b（a+b+c）=ac+$\frac{1}{ac}$≥2$\sqrt{ac•\frac{1}{ac}}$=2，
當(dāng)且僅當(dāng)ac=1時(shí)，取得最小值，且為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明和最小值的求法，注意運(yùn)用基本不等式，運(yùn)用累乘法和式子的變形是解題的關(guān)鍵．