Question

8．若x²-2lnx≥2px-$\frac{1}{x{\;}^{2}}$任意x∈（0，1]恒成立，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

分析 利用參數(shù)分離法將不等式恒成立進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可．

解答 解：由x²-2lnx≥2px-$\frac{1}{x{\;}^{2}}$在x∈（0，1]恒成立，
即轉(zhuǎn)化為2p≤x+$\frac{1}{{x}^{3}}-\frac{2lnx}{x}$在x∈（0，1]內(nèi)恒成立，
令h（x）=x+$\frac{1}{{x}^{3}}-\frac{2lnx}{x}$，則h′（x）=$\frac{{x}^{4}-2{x}^{2}-3+2{x}^{2}lnx}{{x}^{4}}$，
∵x∈（0，1]，
∴x⁴-3＜0，-2x²＜0，2x²lnx＜0，
∴h′（x）＜0，
即h（x）為（0，1）上為減函數(shù)．
∴當(dāng)x=1時(shí)，h（x）取得最小值h（1）=1+1=2，
則2p≤2，
解得p≤1
故p的取值范圍是（-∞，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，以求函數(shù)恒成立問題，利用參數(shù)分離法以及導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．