Question

19．已知a≥0，函數(shù)f（x）=（x²-2ax）e^x在[-1，1]是減函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 首先，求導數(shù)，然后，令導數(shù)為非正數(shù)，結合二次函數(shù)知識求解．

解答 解：∵f′（x）=[x²-2（a-1）x-2a]•e^x，
∵f（x）在[-1，1]上是單調(diào)減函數(shù)，
∴f′（x）≤0，x∈[-1，1]，
∴x²-2（a-1）x-2a≤0，x∈[-1，1]，
設g（x）=x²-2（a-1）x-2a，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）≤0}\\{g（1）≤0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+2（a-1）-2a≤0}\\{1-2（a-1）-2a≤0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1≤0}\\{4a≥3}\end{array}\right.$，
又a≥0，
∴a$≥\frac{3}{4}$，
即有a的取值范圍是[$\frac{3}{4}$，+∞）．

點評 本題重點考查導數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應用，常常利用等價轉化思想，將問題轉化成二次函數(shù)問題，運用二次函數(shù)的圖象和性質，屬于中檔題．