Question

17．設(shè)二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象的頂點的橫坐標(biāo)為-2，且圖象經(jīng)過（0，3），又方程f（x）=0的兩個實根的平方和為10．
（1）求a，b，c的值；
（2）設(shè)A={x|ax²+bx+c=3，x∈R}，B={x|x²+2（m+1）x+m²-1=0，x∈R}，如果A∪B=A，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由圖象經(jīng)過（0，3），即c=3，b=4a，及${x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}$=10，根據(jù)韋達(dá)定理可知：x₁+x₂=-4，x₁•x₂=$\frac{3}{a}$，代入即可求得a，b，c的值；
（2）將a，b，c代入方程，求出集合A，A∪B=A，判斷B的可能情況，然后通過集合B求解即可得到實數(shù)m的取值集合．

解答 解：（1）由題意可知：圖象經(jīng)過（0，3），即c=3，
頂點的橫坐標(biāo)為-2，即$-\frac{2a}$=-2，b=4a，
f（x）=0，ax²+4ax+3=0，
由韋達(dá)定理可知：x₁+x₂=-4，x₁•x₂=$\frac{3}{a}$，
${x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}$=10，
（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=16-$\frac{6}{a}$=10，
解得：a=1，
∴b=4，
（2）A={x|x²+4x+3=3，x∈R}={-4，0}，
A∪B=A，
故B={0}或B={-4}或B={0，-4}或∅，
①若B={0}，則$\left\{\begin{array}{l}{-2（m+1）=0}\\{{m}^{2}-1=0}\end{array}\right.$，解得：m=-1，
此時B={0}，成立，
②若B={-4}，則$\left\{\begin{array}{l}{-2（m+1）=8}\\{{m}^{2}-1=15}\end{array}\right.$，解得：m∈∅，
③若B={0，-4}，則B=A，$\left\{\begin{array}{l}{2（m+1）=4}\\{{m}^{2}-1=0}\end{array}\right.$，解得m=1，
④若B為∅，△=4（m+1）²-4（m²-1）＜0，解得m＜-1，
綜上所述：實數(shù)m的取值范圍為{1}∪（-∞，-1]．

點評 本題考查求一元二次函數(shù)的解析式，考查集合的包含關(guān)系的應(yīng)用，韋達(dá)定理，考查分類討論思想的應(yīng)用，考查計算能力．