Question

2．已知函數(shù)f（x）=cos（π+x）cos（$\frac{3}{2}$π-x）-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）討論f（x）在[$\frac{π}{6}$，$\frac{2}{3}$π]上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）化簡函數(shù)f（x）為正弦型函數(shù)，即可求出它的最小正周期和最大值；
（2）根據(jù)x的取值范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求出f（x）的單調(diào)性．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=cos（π+x）cos（$\frac{3}{2}$π-x）-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=-cosx•（-sinx）-$\frac{\sqrt{3}（1+cos2x）}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x
=sin（2x-$\frac{π}{3}$）；
∴f（x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{2}$=π，
最大值是1；
（2）當x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2}{3}$π]時，2x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
2x-$\frac{π}{3}$∈[0，π]；
令2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，解得x=$\frac{5π}{12}$，
∴x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{12}$]時，2x-$\frac{π}{3}$∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（x）是單調(diào)增函數(shù)；
x∈[$\frac{5π}{12}$，$\frac{2π}{3}$]時，2x-$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{2}$，π]，f（x）是單調(diào)減函數(shù)．

點評 本題考查了三角函數(shù)的化簡與運算問題，也考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是綜合性題目．