Question

9．如圖，旅客從某旅游區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50米/分鐘，在甲出發(fā)2分鐘后，乙從A乘纜車到B，再?gòu)腂勻速步行到C．假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為130米/分鐘，山路AC長(zhǎng)1260米，經(jīng)測(cè)量，cosA=$\frac{12}{13}$，cosC=$\frac{3}{5}$．
（1）求索道AB的長(zhǎng)；
（2）問乙出發(fā)后多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦定理即可確定出AB的長(zhǎng)；
（2）設(shè)乙出發(fā)t分鐘后，甲、乙兩游客距離為d，此時(shí)，甲行走了（100+50t）m，乙距離A處130t m，由余弦定理即可得解．

解答 （本題滿分為10分）
解：（1）∵在$△ABC中，cosA=\frac{12}{13}，cosC=\frac{3}{5}$，
∴$sinA=\frac{5}{13}，sinC=\frac{4}{5}$，
∴$sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosCsinA=\frac{63}{65}$，
∴由正弦定理$\frac{AB}{sinC}=\frac{AC}{sinB}，AB=\frac{ACsinC}{sinB}=1040米$，
∴索道AB的長(zhǎng)為1040m．   …（5分）
（2）假設(shè)乙出發(fā)t分鐘后，甲、乙兩游客距離為d，
此時(shí)，甲行走了（100+50t）m，乙距離A處130t m，
所以由余弦定理得：
d²=（130t）²+2500（t+2）²-2•130t•50（t+2）$\frac{12}{13}$
=200（37t²-70t+50）
=$200[37{（t-\frac{35}{37}）^2}+\frac{625}{37}\}，t∈[0，8]$，
故$當(dāng)t=\frac{35}{37}分時(shí)，甲乙的距離最短$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 此題考查了余弦定理，銳角三角函數(shù)定義，以及勾股定理，利用了分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想，屬于解直角三角形題型，屬于中檔題．