Question

20．正實(shí)數(shù)x，y滿足x+2y+4=4xy，且不等式（x+2y）a²+2a+2xy-34≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 由條件可得x+2y=4xy+4，不等式（x+2y）a²+2a+2xy-34≥0恒成立，即$xy≥\frac{{2{a^2}-a+17}}{{2{a^2}+1}}$恒成立．運(yùn)用基本不等式可得x+2y≥2$\sqrt{2xy}$，由二次不等式的解法，求得xy≥2，由恒成立思想可得a的不等式，由二次不等式的解法，可得a的范圍．

解答 解：∵正實(shí)數(shù)x，y滿足x+2y+4=4xy，
即x+2y=4xy-4，
∴不等式（x+2y）a²+2a+2xy-34≥0恒成立，
即（4xy-4）a²+2a+2xy-34≥0恒成立，
變形得2xy（2a²+1）≥4a²-2a+34恒成立，
即$xy≥\frac{{2{a^2}-a+17}}{{2{a^2}+1}}$恒成立．
∵x＞0，y＞0，∴$x+2y≥2\sqrt{2xy}$，
∴4xy=x+2y+4 $≥4+2\sqrt{2xy}$，
即$2{（{\sqrt{xy}}）^2}-\sqrt{2}\sqrt{xy}-2≥0⇒\sqrt{xy}≥\sqrt{2}$或$\sqrt{xy}≤-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$（舍去），
可得xy≥2，要使$xy≥\frac{{2{a^2}-a+17}}{{2{a^2}+1}}$恒成立，只需$2≥\frac{{2{a^2}-a+17}}{{2{a^2}+1}}$恒成立，
化簡得$2{a^2}+a-15≥0⇒a≤-3或a≥\frac{5}{2}$．
所以a的取值范圍是$（{-∞，-3}]∪[{\frac{5}{2}，+∞}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用基本不等式和參數(shù)分離的方法，以及基本不等式求最值，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．