Question

2．已知二次函數(shù)滿足f（0）=-1，且對(duì)任意x都有f（x+1）=f（x）+2x+1，又g（x）=x+1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，不等式f（x）≥t[g（x）-1]恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)F（x）=$\frac{f（x）+1+a}{g（x）-1}$+b，若對(duì)任意a∈[$\frac{1}{2}$，2]，不等式F（x）≤10在x∈[$\frac{1}{4}$，1]上恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用待定系數(shù)法，設(shè)二次函數(shù)f（x）=mx²+nx+t，由條件得到方程，解方程可得系數(shù)，進(jìn)而得到解析式；
（2）由題意可得x²-1≥tx，即t≤x-$\frac{1}{x}$在x∈[1，2]恒成立，求得右邊函數(shù)的最小值，即可得到t的范圍；
（3）化簡(jiǎn)F（x），由x+$\frac{a}{x}$+b≤10在任意a∈[$\frac{1}{2}$，2]恒成立，運(yùn)用一次函數(shù)的單調(diào)性又對(duì)x∈[$\frac{1}{4}$，1]恒成立，運(yùn)用單調(diào)性求得最大值，可得b的不等式，進(jìn)而得到b的范圍．

解答 解：（1）設(shè)二次函數(shù)f（x）=mx²+nx+t，
由f（0）=-1可得t=-1，
對(duì)任意x都有f（x+1）=f（x）+2x+1，可得
m（x+1）²+n（x+1）+t=mx²+nx+t+2x+1，
可得2m=2，m+n=1，解得m=1，n=0，
則f（x）=x²-1；
（2）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，不等式f（x）≥t[g（x）-1]恒成立，
即為x²-1≥tx，即t≤x-$\frac{1}{x}$在x∈[1，2]恒成立，
由x-$\frac{1}{x}$在x∈[1，2]遞增，可得x=1取得最小值0，
即有t≤1；
（3）函數(shù)F（x）=$\frac{f（x）+1+a}{g（x）-1}$+b=$\frac{{x}^{2}+a}{x}$+b=x+$\frac{a}{x}$+b，
不等式F（x）≤10在x∈[$\frac{1}{4}$，1]上恒成立，即為
x+$\frac{a}{x}$+b≤10在任意a∈[$\frac{1}{2}$，2]恒成立，
即有x+$\frac{1}{2x}$≤10-b且x+$\frac{2}{x}$≤10-b，
又對(duì)x∈[$\frac{1}{4}$，1]恒成立，即有
$\frac{1}{4}$+2≤10-b且$\frac{1}{4}$+8≤10-b，
即為b≤$\frac{31}{4}$且b≤$\frac{7}{4}$，
解得b≤$\frac{7}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．