Question

14．若對(duì)任意x∈（0，1），不等式$\frac{x-m}{lnx}$＞$\sqrt{x}$恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 由題意可得-m＜lnx•$\sqrt{x}$-x在（0，1）恒成立，令f（x）=lnx•$\sqrt{x}$-x，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，求得f（x）的范圍，由恒成立思想，即可得到所求m的范圍．

解答 解：對(duì)任意x∈（0，1），不等式$\frac{x-m}{lnx}$＞$\sqrt{x}$恒成立，
由lnx＜0，可得-m＜lnx•$\sqrt{x}$-x在（0，1）恒成立，
令f（x）=lnx•$\sqrt{x}$-x，f′（x）=$\frac{1}{\sqrt{x}}$+$\frac{lnx}{2\sqrt{x}}$-1=$\frac{2-2\sqrt{x}+lnx}{2\sqrt{x}}$，
由g（x）=2-2$\sqrt{x}$+lnx的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$=$\frac{1-\sqrt{x}}{x}$＞0，
可得g（x）在（0，1）遞增，即有g(shù)（x）＜g（1）=0，
則f′（x）＜0，f（x）在（0，1）遞減，
即有f（x）＞f（1）=-1，
則有-m≤-1，解得m≥1．
則實(shí)數(shù)m的取值范圍是[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求出最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．