Question

1．某企業(yè)2014年年底給全部的800名員工共發(fā)放2000萬(wàn)元年終獎(jiǎng)，該企業(yè)計(jì)劃從2015年起，10年內(nèi)每年發(fā)放的年終獎(jiǎng)都比上一年增加60萬(wàn)元，企業(yè)員工每年凈增a人．
（1）若a=10，在10年內(nèi)，該企業(yè)的人均年終獎(jiǎng)是否會(huì)超過3萬(wàn)元？
（2）這10年內(nèi)為使人均年終獎(jiǎng)年年有增長(zhǎng)，該企業(yè)每年員工的凈增量不能超過多少人？

Answer 1

分析 （1）可設(shè)第x年該企業(yè)的人均年終獎(jiǎng)為y萬(wàn)元，根據(jù)題意便可建立x，y之間的函數(shù)關(guān)系式為$y=\frac{2000+60x}{800+ax}$，1≤x≤10，從而a=10帶入并分離常數(shù)得到$y=6-\frac{280}{80+x}$，1≤x≤10，可看出該函數(shù)在[1，10]上為增函數(shù)，從而可求出x=10時(shí)，y取到最大值，這樣即可判斷該企業(yè)的人均年終獎(jiǎng)是否會(huì)超過3萬(wàn)元；
（2）對(duì)原函數(shù)分離常數(shù)得到$y=\frac{60}{a}+\frac{2000-\frac{48000}{a}}{800+ax}，1≤x≤10$，根據(jù)題意知該函數(shù)在[1，10]內(nèi)為增函數(shù)，從而有$2000-\frac{48000}{a}＜0$，這樣即可求出a＜24，從而得出該企業(yè)每年員工的凈增量不能超過23人．

解答 解：（1）設(shè)第x年該企業(yè)的人均年終獎(jiǎng)為y萬(wàn)元；
則$y=\frac{2000+60x}{800+ax}$，1≤x≤10；
若a=10，則$y=\frac{2000+60x}{800+10x}=\frac{200+6x}{80+x}=6-\frac{280}{80+x}$，1≤x≤10；
該函數(shù)在[1，10]內(nèi)為增函數(shù)；
∴x=10時(shí)，y取最大值$\frac{26}{9}＜3$；
∴該企業(yè)的人均年終獎(jiǎng)不會(huì)超過3萬(wàn)元；
（2）$y=\frac{2000+60x}{800+ax}=\frac{\frac{60}{a}（800+ax）+2000-\frac{48000}{a}}{800+ax}$=$\frac{60}{a}+\frac{2000-\frac{48000}{a}}{800+ax}$，1≤x≤10；
∵這10年內(nèi)人均年終獎(jiǎng)年年有增長(zhǎng)；
∴該函數(shù)在[1，10]內(nèi)為增函數(shù)；
∴$2000-\frac{48000}{a}＜0$，且a＞0；
解得a＜24；
∴該企業(yè)每年員工的凈增量不能超過23人．

點(diǎn)評(píng) 本題考查根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)關(guān)系式的方法，分離常數(shù)法的運(yùn)用，以及反比例函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)增函數(shù)的定義求函數(shù)的最大值．