Question

11．斜率為1的直線與雙曲線2x²-y²=1相交于A、B兩點，又AB中點的橫坐標為2．
（Ⅰ）求直線的方程　　　
（Ⅱ）求線段AB的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)出直線方程，代雙曲線方程，利用韋達定理及AB中點的橫坐標為1，求出m，即可求直線的方程；
（Ⅱ）利用弦長公式，即可求得線段AB的長．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)斜率為1的直線l的方程為y=x+m，代入2x²-y²=1，消去y可得x²-2mx-（m²+1）=0，
∴△=8m²+4＞0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=2m，x₁x₂=-（m²+1），
∵AB中點的橫坐標為1，
∴x₁+x₂=2m=4，
∴m=2，
∴直線的方程為y=x+2；
（Ⅱ）x₁+x₂=4，x₁x₂=-5，
∴|AB|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{16+20}$=6$\sqrt{2}$．

點評 本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查韋達定理及弦長公式的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．