Question

6．已知橢圓E：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$，直線l交橢圓于A，B兩點，若AB的中點坐標為（$\frac{1}{2}$，-1），則l的方程為（　　）

• A． 2x+y=0
• B． $x-2y-\frac{5}{2}=0$
• C． 2x-y-2=0
• D． $x-4y-\frac{9}{2}=0$

Answer 1

分析 利用“點差法”可求得直線AB的斜率，再利用點斜式即可求得直線l的方程．

解答 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（$\frac{1}{2}$，-1）是線段AB的中點，
則x₁+x₂=1，y₁+y₂=-2；
依題意，$\left\{\begin{array}{l}\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}=…①\\ \frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{2}}^{{2}_{\;}}}{2}=1…②\end{array}\right.$，
①-②得：$\frac{1}{4}$（x₁+x₂）（x₁-x₂）=$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）（y₂-y₁），
由題意知，直線l的斜率存在，
∴k_AB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-$\frac{1}{2}$×$\frac{{x}_{2}+{x}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$=$\frac{1}{4}$，
∴直線l的方程為：y+1=$\frac{1}{4}$（x-$\frac{1}{2}$），
整理得：$x-4y-\frac{9}{2}=0$．
故直線l的方程為$x-4y-\frac{9}{2}=0$．
故選：D．

點評 本題考查橢圓的簡單性質與直線的點斜式方程，求直線l的斜率是關鍵，也是難點，著重考查點差法，屬于中檔題．