Question

9．在每場比賽之前，世界杯組委會都會指派裁判員進(jìn)行執(zhí)法．在某場比賽前，有10名裁判可供選擇，其中歐洲裁判3人，亞洲裁判4人，美洲裁判3人．若組委會要從這10名裁判中任選3人執(zhí)法本次比賽．求：
（1）選出的歐洲裁判人數(shù)多于亞洲裁判人數(shù)的概率；
（2）選出的3人中，歐洲裁判人數(shù)x的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)“選出的3名裁判中歐洲裁判人數(shù)多于亞洲裁判人數(shù)”為事件A，“恰好選出1名歐洲裁判和2名美洲裁判”為事件A₁，“恰好選出2名歐洲裁判“為事件A₂，”恰好取出3名歐洲裁判”為事件A₃，由于事件A₁，A₂，A₃彼此互斥，且A=A₁∪A₂∪A₃，由此能求出選出的3名裁判中歐洲裁判人數(shù)多于亞洲裁判人數(shù)的概率．
（2）從10人任選3人，其中恰有k名歐洲裁判的概率為P（X=k）=$\frac{{C}_{3}^{k}{C}_{7}^{3-k}}{{C}_{10}^{3}}$，k=0，1，2，3．由此能求出歐洲裁判人數(shù)x的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 （1）解：設(shè)“選出的3名裁判中歐洲裁判人數(shù)多于亞洲裁判人數(shù)”為事件A，
“恰好選出1名歐洲裁判和2名美洲裁判”為事件A₁，“恰好選出2名歐洲裁判“為事件A₂，”
恰好取出3名歐洲裁判”為事件A₃，由于事件A₁，A₂，A₃彼此互斥，且A=A₁∪A₂∪A₃，
P（A₁）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{3}{40}$，
P（A₂）=P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{7}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{7}{40}$，
P（A₃）=P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{120}$，
所以選出的3名裁判中歐洲裁判人數(shù)多于亞洲裁判人數(shù)的概率為
P（A）=P（A₁）+P（A₂）+P（A₃）=$\frac{3}{40}+\frac{7}{40}+\frac{1}{120}$=$\frac{31}{120}$．
（2）解：由于從10名裁判中任選3人的結(jié)果為${C}_{10}^{3}$，從10名裁判中任取3人，
其中恰有k名歐洲裁判的結(jié)果數(shù)為${C}_{3}^{k}{C}_{7}^{3-k}$，
那么從10人任選3人，其中恰有k名歐洲裁判的概率為P（X=k）=$\frac{{C}_{3}^{k}{C}_{7}^{3-k}}{{C}_{10}^{3}}$，k=0，1，2，3．
P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{0}{C}_{7}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{7}{24}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{7}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{21}{40}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{7}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{7}{40}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}{C}_{7}^{0}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{120}$，
所以隨機(jī)變量X的分布列是

X	0	1	2	3
P	$\frac{7}{24}$	$\frac{21}{40}$	$\frac{7}{40}$	$\frac{1}{120}$

X的數(shù)學(xué)期望EX=$0×\frac{7}{24}+1×\frac{21}{40}+2×\frac{7}{40}+3×\frac{1}{120}$=$\frac{9}{10}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意排列知識的合理運(yùn)用．