Question

12．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面三角形ABC是等邊三角形，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，D為棱AB的中點(diǎn)
（1）求證：平面A₁CD⊥平面AA₁B₁B
（2）求證：BC₁∥平面A₁CD
（3）若AB=1，AA₁=$\sqrt{3}$，求三棱錐D-A₁B₁C的體積．

Answer 1

分析 （1）說(shuō)明CD⊥AB推出CD⊥平面AA₁B₁B，然后證明平面A₁CD⊥平面AA₁B₁B．
（2）連接AC₁，設(shè)AC₁∩A₁C=O，連接OD，則O為AC₁的中點(diǎn)，推出OD∥BC₁，即可證明BC₁∥平面A₁CD．（3）利用等體積法轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 （12分）解：（1）∵三角形ABC是等邊三角形且D為棱AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB
又平面ABC⊥平面AA₁B₁B且交線為AB
∴CD⊥平面AA₁B₁B，又CD?平面A₁CD
∴平面A₁CD⊥平面AA₁B₁B…（4分）
（2）連接AC₁，設(shè)AC₁∩A₁C=O，連接OD，則O為AC₁的中點(diǎn)，
在三角形AC₁D中，OD是中位線，∴OD∥BC₁…（6分）
又OD?平面A₁CD，BC₁?平面A₁CD，
由線面平行的判定定理知：BC₁∥平面A₁CD…（8分）
（3）由（1）知：CD⊥平面AA₁B₁B且$CD=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
由${V_{D-{A_1}{B_1}C}}={V_{C-{A_1}{B_1}D}}=\frac{1}{3}{S_{△{A_1}{B_1}D}}•CD=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{1}{4}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何體的體積的求法，直線與平面平行于垂直的判斷與應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．