Question

18．已知點(diǎn)$A（\sqrt{5}\;，\;\;0）$和曲線$y=\sqrt{\frac{x^2}{4}-1}（2\;≤\;x\;≤\;2\sqrt{5}）$上的點(diǎn)P₁，P₂，…，P_n．若|P₁A|，|P₂A|，…，|P_nA|成等差數(shù)列且公差$d∈（\frac{1}{5}\;，\;\;\frac{1}{{\sqrt{5}}}）$，則n的最大值為14．

Answer 1

分析 確定曲線是雙曲線的一段，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)，建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：題設(shè)的曲線是如下雙曲線的一段，即$\frac{1}{4}{x^2}-{y^2}=1（2\;≤\;x\;≤\;2\sqrt{5}\;，\;\;y\;≥\;0）$．
$A（\sqrt{5}\;，\;\;0）$是它的右焦點(diǎn)，（其中直線l為右準(zhǔn)線$x=\frac{4}{{\sqrt{5}}}$，點(diǎn)$P（2\sqrt{5}\;，\;\;2）$，離心率$e=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$）．
易知$|{P_n}A{|_{min}}=\sqrt{5}-2$，$|{P_n}A{|_{max}}=e|PH|=\frac{{\sqrt{5}}}{2}（2\sqrt{5}-\frac{4}{{\sqrt{5}}}）=3$．
依題意，可設(shè)等差數(shù)列的第一項(xiàng)${a_1}=\sqrt{5}-2$，第n項(xiàng)a_n=3，
則$3=（\sqrt{5}-2）+（n-1）d$．得$d=\frac{{5-\sqrt{5}}}{n-1}（n＞1）$．
由題意，$\frac{1}{5}＜d＜\frac{1}{{\sqrt{5}}}$，即$\frac{1}{5}＜\frac{{5-\sqrt{5}}}{n-1}＜\frac{1}{{\sqrt{5}}}$．
得$5\sqrt{5}-4＜n＜26-5\sqrt{5}$．
而$7=5×2.2-4＜5\sqrt{5}-4$．且$26-5\sqrt{5}＜26-5×2.2=15$．
則7＜n＜15，
故n的最大可取14．
故答案為：14

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，根據(jù)條件建立不等式關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．