Question

14．下列4個(gè)命題中：
①$α∈（0，\frac{π}{2}）$時(shí)，sinα+cosα＞1；
②$α∈（\frac{3π}{4}，π）$時(shí)，sinα＜|cosα|；
③$α∈（\frac{5π}{4}，\frac{3π}{2}）$時(shí)，sinα＞cosα．
④$α∈（\frac{3π}{2}，\frac{7π}{4}）$時(shí)，sinα+cosα＞0．
其中判斷正確的序號(hào)是①②（將正確的都填上）．

Answer 1

分析 ①α∈（0，$\frac{π}{2}$）⇒α+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$）⇒sin（α+$\frac{π}{4}$）∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，利用輔助角公式可得sinα+cosα=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）＞1，可判斷①；
②$α∈（\frac{3π}{4}，π）$時(shí)，2α∈（$\frac{3π}{2}$，2π），可得cos2α=cos²α-sin²α＞0，從而可得sinα＜|cosα|，即②正確；
③α∈（$\frac{5π}{4}$，$\frac{3π}{2}$）⇒α-$\frac{π}{4}$∈（π，$\frac{5π}{4}$）⇒sin（α-$\frac{π}{4}$）＜0，繼而可判斷③．
④$α∈（\frac{3π}{2}，\frac{7π}{4}）$⇒（α+$\frac{π}{4}$）∈（$\frac{7π}{4}$，2π），sin（α+$\frac{π}{4}$）＜0．繼而可判斷④．

解答 解：①當(dāng)α∈（0，$\frac{π}{2}$）時(shí)，α+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），
sin（α+$\frac{π}{4}$）∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）∈（1，$\sqrt{2}$]，
∴sinα+cosα=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）＞1，即①正確；
②$α∈（\frac{3π}{4}，π）$時(shí)，2α∈（$\frac{3π}{2}$，2π），cos2α=cos²α-sin²α＞0，
∴cos²α＞sin²α，可得sinα＜|cosα|，即②正確；
③α∈（$\frac{5π}{4}$，$\frac{3π}{2}$）時(shí)，（α-$\frac{π}{4}$）∈（π，$\frac{5π}{4}$），sin（α-$\frac{π}{4}$）＜0．
∴sinα-cosα=$\sqrt{2}$sin（α-$\frac{π}{4}$）＜0，即sinα＜cosα，故③錯(cuò)誤．
④$α∈（\frac{3π}{2}，\frac{7π}{4}）$時(shí)，（α+$\frac{π}{4}$）∈（$\frac{7π}{4}$，2π），sin（α+$\frac{π}{4}$）＜0．
∴sinα+cosα=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）＜0，故④錯(cuò)誤．
故答案為：①②．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查輔助角公式的應(yīng)用，突出轉(zhuǎn)化思想的考查，屬于中檔題．