Question

2．設(shè)0＜a＜1，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知數(shù)列{log_aS_n}是首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)a_n與a_n+2的等差中項(xiàng)為A，比較A與a_n+1的大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式先求出S_n=a^n-1，然后根據(jù)項(xiàng)和和之間的關(guān)系即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求出A，利用作差法進(jìn)行比較即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵數(shù)列{log_aS_n}是首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列，
∴l(xiāng)og_aS_n=0+n-1=n-1，
則S_n=a^n-1，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=a^n-1-a^n-2=（a-1）a^n-2，
當(dāng)n=1時(shí)，log_aS₁=0，即S₁=a₁=1，
即數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，}&{n=1}\\{（a-1）{a}^{n-2}，}&{n≥2}\end{array}\right.$；
（2）∵a_n與a_n+2的等差中項(xiàng)為A，
∴A=$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+2}}{2}$，
當(dāng)n=1時(shí)，A-a_n+1=$\frac{{a}_{1}+{a}_{3}}{2}$-a₂=$\frac{{a}^{2}-3a+3}{2}$=$\frac{1}{2}$[（a-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{3}{4}$]$≥\frac{3}{8}$＞0，此時(shí)A＞a_n+1．
當(dāng)n≥2時(shí)，A-a_n+1=$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+2}}{2}$-a_n+1=$\frac{（a-1）{a}^{n-2}+（a-1）{a}^{n}}{2}$-（a-1）a^n-1
=$\frac{（a-1）{a}^{n-2}（{a}^{2}-2a+1）}{2}$=$\frac{（a-1）^{3}{a}^{n-2}}{2}$．
若0＜a＜1，則A-a_n+1＜0．
綜上可得，當(dāng)n=1時(shí)，A＞a_n+1；
當(dāng)n≥2時(shí)，若0＜a＜1，則A＜a_n+1，

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出數(shù)列的前n項(xiàng)和是解決本題的關(guān)鍵．