Question

10．若（2x-$\frac{1}{x}$）ⁿ展開式中含$\frac{1}{{x}^{2}}$項的系數(shù)與含$\frac{1}{{x}^{4}}$項的系數(shù)之比為-5，求n．

Answer 1

分析 根據(jù)二項式展開式的通項公式T_r+1，求出展開式中含$\frac{1}{{x}^{2}}$項的系數(shù)與展開式中含$\frac{1}{{x}^{4}}$項的系數(shù)，再列出方程，求出n的值．

解答 解：∵（2x-$\frac{1}{x}$）ⁿ展開式的通項公式為：
T_r+1=${C}_{n}^{r}$•（2x）^n-r•${（-\frac{1}{x}）}^{r}$=（-1）^r•${C}_{n}^{r}$•2^n-r•x^n-2r，
令n-2r=-2，解得r=$\frac{n}{2}$+1，
∴展開式中含$\frac{1}{{x}^{2}}$項的系數(shù)為${（-1）}^{\frac{n}{2}+1}$•${C}_{n}^{\frac{n}{2}+1}$•${2}^{\frac{n}{2}-1}$；
再令n-2r=-4，解得r=$\frac{n}{2}$+2，
∴展開式中含$\frac{1}{{x}^{4}}$項的系數(shù)為${（-1）}^{\frac{n}{2}+2}$•${C}_{n}^{\frac{n}{2}+2}$•${2}^{\frac{n}{2}-2}$；
∴${（-1）}^{\frac{n}{2}+1}$•${C}_{n}^{\frac{n}{2}+1}$•${2}^{\frac{n}{2}-1}$=-5×${（-1）}^{\frac{n}{2}+2}$•${C}_{n}^{\frac{n}{2}+2}$•${2}^{\frac{n}{2}-2}$，
∴${C}_{n}^{\frac{n}{2}+1}$=$\frac{5}{2}$${C}_{n}^{\frac{n}{2}+2}$；
即$\frac{n!}{（\frac{n}{2}-1）!•（\frac{n}{2}+1）!}$=$\frac{5}{2}$×$\frac{n!}{（\frac{n}{2}-2）!•（\frac{n}{2}+2）!}$，
$\frac{1}{\frac{n}{2}-1}$=$\frac{5}{2}$×$\frac{1}{\frac{n}{2}+2}$，
解得n=6．

點評 本題考查了二項式定理的應用問題，也考查了二項式通項公式的靈活應用問題，是基礎題目．