Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若函數(shù)在點處的切線平行于直線，求切點的坐標(biāo)及此切線方程；

（2）求證：當(dāng)時，；（其中）

（3）確定非負(fù)實數(shù)的取值范圍，使得，成立．

Answer 1

【答案】（1）點，切線方程為；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)在某點導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得切線的斜率以及點，然后可得結(jié)果.

（2）構(gòu)建新的函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)判斷新函數(shù)的單調(diào)性，并計算新函數(shù)的最值，可得結(jié)果.

（3）構(gòu)建函數(shù)，采用分類討論與，并利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，可得結(jié)果.

（1）由，則

由題可知：

所以切線方程為，點

（2）當(dāng)時，

則在恒成立

即在恒成立

令

所以

令或（舍）

當(dāng)時，

當(dāng)時，

所以可知在遞增，在遞減

且，

所以在中，

故可知

所以當(dāng)時，

（3）由，成立

則在恒成立

令

則

當(dāng)時，，

則在單調(diào)遞增，所以

所以，成立

當(dāng)時，

令，則或（舍）

若時，

當(dāng)時，

所以在遞減，在遞增，

又，所以，

所以，不成立

綜上所述：