Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù)，其中.
（Ⅰ）若是的極值點(diǎn)，求的值；
（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若在上的最大值是，求的取值范圍 .

Answer 1

（Ⅰ）時(shí)，符合題意.
（Ⅱ）綜上，當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是，減區(qū)間是；
當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是，減區(qū)間是和；
當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間是；
當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是；減區(qū)間是和. 
（Ⅲ）在上的最大值是時(shí)，的取值范圍是.

本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定函數(shù)的單調(diào)性和最值問(wèn)題。
（1）.  依題意，令，解得 .
（2）對(duì)于參數(shù)a進(jìn)行分類討論得到不同情況下的單調(diào)性質(zhì)的證明
（3）在第二問(wèn)的基礎(chǔ)上，根據(jù)單調(diào)性得到最值。
（Ⅰ）解：.  依題意，令，解得 . 經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，符合題意.             ……4分   
（Ⅱ）解：① 當(dāng)時(shí)，.
故的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是.
② 當(dāng)時(shí)，令，得，或.
當(dāng)時(shí)，與的情況如下：

	↘		↗		↘

所以，的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是和.
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間是.                  
當(dāng)時(shí)，，與的情況如下：

	↘		↗		↘

所以，的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是和.
③ 當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是.  
綜上，當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是，減區(qū)間是；
當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是，減區(qū)間是和；
當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間是；
當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是；減區(qū)間是和.  ……10分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知 時(shí)，在上單調(diào)遞增，由，知不合題意.
當(dāng)時(shí)，在的最大值是，
由，知不合題意. 
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，
可得在上的最大值是，符合題意.  
所以，在上的最大值是時(shí)，的取值范圍是. …………12分