Question

5．已知有相同的兩焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的橢圓$\frac{{x}^{2}}{m}$+y²=1（m＞1）和雙曲線$\frac{{x}^{2}}{n}$-y²=1（n＞0），P是它們的一個(gè)交點(diǎn)，則$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$等于（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 0
• D． 隨m，n的變化而變化

Answer 1

分析 利用雙曲線和橢圓的定義、余弦定理和三角形的面積計(jì)算公式，即可得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$．

解答 解：如圖所示，不妨設(shè)兩曲線的交點(diǎn)P位于雙曲線的右支上，設(shè)|PF₁|=s，|PF₂|=t．
由雙曲線和橢圓的定義可得$\left\{\begin{array}{l}{s+t=2\sqrt{m}}\\{s-t=2\sqrt{n}}\end{array}\right.$，
解得s²+t²=2m+2n，st=m-n．
在△PF₁F₂中，cos∠F₁PF₂=$\frac{{s}^{2}+{t}^{2}-4{c}^{2}}{2st}$=$\frac{2m+2n-4（m-1）}{2m-2n}$
∵m-1=n+1，
∴m-n=2，
∴cos∠F₁PF₂=0，∴∠F₁PF₂=90°．
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓與雙曲線方程及其幾何性質(zhì)及代數(shù)運(yùn)算能力．熟練掌握雙曲線和橢圓的定義、余弦定理和向量的數(shù)量積計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．