Question

16．已知銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且$tanB=\frac{{\sqrt{3}sinAsinC}}{{{{sin}^2}A+{{sin}^2}C-{{sin}^2}B}}$．
（Ⅰ）求角B的大��；
（Ⅱ）若$b=\sqrt{3}$，求a+c的最大值，并求此時的三角形面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合條件，即可求角B的大��；
（Ⅱ）由余弦定理可得3=a²+c²-2accos$\frac{π}{3}$=（a+c）²-3ac≥（$\frac{1}{4}$a+c）²，即可求a+c的最大值，并求此時的三角形面積．

解答 解：（Ⅰ）∵$tanB=\frac{{\sqrt{3}sinAsinC}}{{{{sin}^2}A+{{sin}^2}C-{{sin}^2}B}}$，
∴tanB=$\frac{\sqrt{3}ac}{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}$，
∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0＜B＜π
∴B=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由余弦定理可得3=a²+c²-2accos$\frac{π}{3}$=（a+c）²-3ac≥（$\frac{1}{4}$a+c）²，
∴a+c≤2$\sqrt{3}$，
∴a+c的最大值為2$\sqrt{3}$，
此時a=c=b=$\sqrt{3}$，S=$\frac{\sqrt{3}}{4}×3$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查正弦定理、余弦定理，考查基本不等式的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．