Question

17．在四面體OABC中，棱OA、OB、OC兩兩垂直，且OA=1，OB=2，OC=3，G為△ABC的重心，則$\overrightarrow{OG}$•（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$）=$-\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 由三角形重心的性質(zhì)和向量的三角形法則得出$\overrightarrow{OG}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$），再由向量的平方即為模的平方和向量垂直的條件計算．

解答 解：如圖所示，連接AG并延長與BC相交于點D．
∵點G是底面△ABC的重心，
∴$\overrightarrow{AG}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$=$\frac{1}{3}（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{OA}）$，
又$\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AG}$=$\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{OA}$）
=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$），
則$\overrightarrow{OG}$•（$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$）=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$）•（$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$）
=$\frac{1}{3}$[$（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）^{2}-（\overrightarrow{OC}）^{2}$=$\frac{1}{3}$（$|\overrightarrow{OA}{|}^{2}+|\overrightarrow{OB}{|}^{2}+2\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}-|\overrightarrow{OC}{|}^{2}$
=$\frac{1}{3}$（1+4+0-9）=-$\frac{4}{3}$．
故答案為：$-\frac{4}{3}$．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查了重心的性質(zhì)和向量的三角形法則，屬于中檔題．