Question

14．若A、B、C為△ABC的三內(nèi)角，且其對(duì)邊分別為a、b、c．若向量$\overrightarrow{m}$=（cos2$\frac{A}{2}$，cos$\frac{A}{2}$-1），向量$\overrightarrow{n}$=（1，cos$\frac{A}{2}$+1）且2$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=-1．
（1）求A的值；         
（2）若a=2$\sqrt{3}$，三角形面積S=$\sqrt{3}$，求b+c的值．

Answer 1

分析 （1）直接由已知結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得cosA=-$\frac{1}{2}$，再結(jié)合A∈（0，π）求得A值；
（2）利用三角形的面積公式結(jié)合余弦定理列式求得b+c的值．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{m}$=（cos2$\frac{A}{2}$，cos$\frac{A}{2}$-1），向量$\overrightarrow{n}$=（1，cos$\frac{A}{2}$+1）且2$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=-1．
∴$co{s}^{2}\frac{A}{2}-si{n}^{2}\frac{A}{2}=-\frac{1}{2}$，
得cosA=-$\frac{1}{2}$，又A∈（0，π），∴A=$\frac{2π}{3}$；
（2）由${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}bcsin\frac{2π}{3}=\sqrt{3}$，得bc=4．
又由余弦定理得：${a}^{2}=^{2}+{c}^{2}-2bccos\frac{2π}{3}=^{2}+{c}^{2}+bc$．
∴16=（b+c）²，
∴b+c=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．