Question

9．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，△PAD為等邊三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別為PC和BD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）證明：平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅲ）若矩形ABCD的周長(zhǎng)為6，設(shè)AD=x，當(dāng)x為何值時(shí)，四棱錐P-A BCD的體積最大？

Answer 1

分析 （I）連接AC，根據(jù)中位線(xiàn)定理可得EF∥PA，故而EF∥平面PAD；
（II）由CD⊥AD及平面PAD⊥平面ABCD可得CD⊥平面PAD，故而平面PDC⊥平面PAD；
（III）取AD的中點(diǎn)M，連接PM，則PM⊥平面ABCD，用x表示出PM，AB，得出體積V關(guān)于x的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性得出體積V的最大值．

解答 （I）證明：連接AC，
∵四邊形ABCD是矩形，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，∴F是AC的中點(diǎn)
∴EF∥PA，又EF?平面PAD，PA?平面PAD，
∴EF∥平面PAD．
 （II）證明：∵平面PAD⊥平面 A BCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
CD⊥AD，
∴CD⊥平面 P AD，又CD?平面 PDC，
∴平面PCD⊥平面 P AD．
（III）解：取AD的中點(diǎn)M，連接PM，
∵PA=PD，∴PM⊥AD，
又平面PAD⊥平面 A BCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PM⊥平面ABCD．
∵AD=x，∴AB=3-x （0＜x＜3 ），PM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x．
∴四棱錐 P-A BCD 的體積為$V=\frac{1}{3}x（{3-x}）•\frac{{\sqrt{3}}}{2}x=\frac{{\sqrt{3}}}{6}（{3{x^2}-{x^3}}）$ （0＜x＜3 ），
∴$V'=\frac{{\sqrt{3}}}{6}（{6x-3{x^2}}）$，
令V'=0，得x=2 或x=0 （舍），
當(dāng)x∈（0，2）時(shí)V′＞0，當(dāng)x∈（2，3）時(shí)V′＜0，
∴當(dāng)x=2 時(shí)V 取得最大值$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線(xiàn)面平行，面面垂直的判定，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．