Question

4．已知函數(shù)f（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$），求：
（1）函數(shù)f（x）最小正周期；
（2）函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）函數(shù)f（x）取最大值x的集合及f（x）的最大值．

Answer 1

分析 由條件利用正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，正弦函數(shù)的最值，得出結(jié)論．

解答 解：由于函數(shù)f（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$），故它的最小正周期為$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得4kπ-$\frac{5π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{π}{3}$，故函數(shù)的增區(qū)間為[4kπ-$\frac{5π}{3}$，4kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．
根據(jù)函數(shù)f（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$），可得函數(shù)的最大值為2，此時，$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．即x的取值的集合為{x|x=4kπ+$\frac{π}{3}$}（k∈Z）．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，正弦函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題．