Question

12．如圖，在△ABC中，|$\overrightarrow{AB}$|=3，|$\overrightarrow{AC}$|=1，BC中點(diǎn)為D，E為線段AD上的任意一點(diǎn)．
（1）求$\overrightarrow{AD}$•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）的值；
（2）若AC⊥BC，求$\overrightarrow{AE}$•（$\overrightarrow{EB}$+$\overrightarrow{EC}$）的最大值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用向量的中點(diǎn)表示和向量的平方即為模的平方，計(jì)算即可得到所求值；
（2）運(yùn)用勾股定理，可得AD=$\sqrt{3}$，再由中點(diǎn)的斜率表示和向量的數(shù)量積的定義，結(jié)合基本不等式，即可得到所求的最大值．

解答 解：（1）由AD為△ABC的中線，可得
$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
則$\overrightarrow{AD}$•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$²-$\overrightarrow{AC}$²）
=$\frac{1}{2}$×（3²-1²）=4；
（2）AC⊥BC，即有BC²=AB²-AC²=9-1=8，
可得BC=2$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{2}$，
AD²=AC²+CD²=1+2=3，即AD=$\sqrt{3}$，
則$\overrightarrow{AE}$•（$\overrightarrow{EB}$+$\overrightarrow{EC}$）=$\overrightarrow{AE}$•2$\overrightarrow{ED}$
=2|$\overrightarrow{AE}$|•|$\overrightarrow{ED}$|•cos0=2|$\overrightarrow{AE}$|•|$\overrightarrow{ED}$|，
設(shè)|$\overrightarrow{AE}$|=t（0≤t≤$\sqrt{3}$），則|$\overrightarrow{ED}$|=$\sqrt{3}$-t，
即有$\overrightarrow{AE}$•（$\overrightarrow{EB}$+$\overrightarrow{EC}$）=2t（$\sqrt{3}$-t）≤2•（$\frac{t+\sqrt{3}-t}{2}$）²=$\frac{3}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即E為AD的中點(diǎn)時(shí)，取得最大值$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查最值的求法，注意運(yùn)用換元法結(jié)合基本不等式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．