Question

10．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2，（4a_n+1-5）（4a_n-1）=-3，則$\frac{1}{{a}_{1}-1}$+$\frac{1}{{a}_{2}-1}$+$\frac{1}{{a}_{3}-1}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{3}{2}$（3ⁿ-1）-2n．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)可得[4（a_n+1-1）-1][4（a_n-1）+3]=-3，從而可得16+$\frac{12}{{a}_{n}-1}$-$\frac{4}{{a}_{n+1}-1}$=0，即$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$+2=3（$\frac{1}{{a}_{n}-1}$+2），從而求得數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$+2}是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，從而求和即可．

解答 解：∵（4a_n+1-5）（4a_n-1）=-3，
∴[4（a_n+1-1）-1][4（a_n-1）+3]=-3，
∴16（a_n+1-1）（a_n-1）+12（a_n+1-1）-4（a_n-1）=0，
∴16+$\frac{12}{{a}_{n}-1}$-$\frac{4}{{a}_{n+1}-1}$=0，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$+2=3（$\frac{1}{{a}_{n}-1}$+2），
又∵$\frac{1}{{a}_{1}-1}$+2=3，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$+2}是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}-1}$+2=3ⁿ，
故$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=3ⁿ-2；
故$\frac{1}{{a}_{1}-1}$+$\frac{1}{{a}_{2}-1}$+$\frac{1}{{a}_{3}-1}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}-1}$
=3-2+9-2+…+3ⁿ-2
=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-2n=$\frac{3}{2}$（3ⁿ-1）-2n；
故答案為：$\frac{3}{2}$（3ⁿ-1）-2n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程的化簡(jiǎn)運(yùn)算及整體思想的應(yīng)用，同時(shí)考查了構(gòu)造法的應(yīng)用，屬于中檔題．