Question

19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，直線l與x軸交于點(diǎn)E，與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)．當(dāng)直線l垂直于x軸且點(diǎn)E為橢圓C的右焦點(diǎn)時，弦AB的長為$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）在x軸上是否存在定點(diǎn)E，使得$\frac{1}{|EA{|}^{2}}+\frac{1}{|EB{|}^{2}}$為定值？若存在，請指出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并求出該定值；若不存在，請說明理由．≤

Answer 1

分析 （1）由題意列關(guān)于a，b，c的方程組，求解方程組可得a，b，c的值，則橢圓方程可求；
（2）假設(shè)存在點(diǎn)E，使得$\frac{1}{|EA{|}^{2}}+\frac{1}{|EB{|}^{2}}$為定值，設(shè)E（x₀，0），討論直線AB與x軸重合和垂直，由此求得E，然后證明該點(diǎn)E滿足直線斜率存在且不為0時即可．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
左右兩個焦分別為F₁，F(xiàn)₂．過右焦點(diǎn)F₂且與x軸垂直的直線與橢圓C相交A、B兩點(diǎn)，且|AB|=$\sqrt{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{2^{2}}{a}=\sqrt{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）假設(shè)存在點(diǎn)E，使得$\frac{1}{|EA{|}^{2}}+\frac{1}{|EB{|}^{2}}$為定值，設(shè)E（x₀，0），
當(dāng)直線AB與x軸重合時，有$\frac{1}{|EA{|}^{2}}+\frac{1}{|EB{|}^{2}}$=$\frac{1}{（{x}_{0}+\sqrt{2}）^{2}}+\frac{1}{（\sqrt{2}-{x}_{0}）^{2}}$=$\frac{4+2{{x}_{0}}^{2}}{（2-{{x}_{0}}^{2}）^{2}}$，
當(dāng)直線AB與x軸垂直時，$\frac{1}{|EA{|}^{2}}+\frac{1}{|EB{|}^{2}}$=$\frac{4}{2-{{x}_{0}}^{2}}$，
由$\frac{4+2{{x}_{0}}^{2}}{（2-{{x}_{0}}^{2}）^{2}}$=$\frac{4}{2-{{x}_{0}}^{2}}$，解得x₀=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{4}{2-{{x}_{0}}^{2}}$=3．
∴若存在點(diǎn)E，此時E（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，0），$\frac{1}{|EA{|}^{2}}+\frac{1}{|EB{|}^{2}}$為定值3．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
又設(shè)直線AB的方程為y=k（x-$\frac{2}{3}$），與橢圓C聯(lián)立方程組，
化簡得$（1+2{k}^{2}）{x}^{2}-\frac{8}{3}{k}^{2}x+\frac{8{k}^{2}-18}{9}=0$，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{3（1+2{k}^{2}）}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}-18}{9（1+2{k}^{2}）}$，①
則$\frac{1}{|EA{|}^{2}}+\frac{1}{|EB{|}^{2}}$=$\frac{1}{（\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_{1}）^{2}}+\frac{1}{（\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_{2}）^{2}}$
=$\frac{2-2{x}_{2}+\frac{1}{2}{{x}_{2}}^{2}+2-2{x}_{1}+\frac{1}{2}{{x}_{1}}^{2}}{[2-（{x}_{1}+{x}_{2}）+\frac{1}{2}{x}_{1}{x}_{2}]^{2}}$，②
聯(lián)立①②可得$\frac{1}{|EA{|}^{2}}+\frac{1}{|EB{|}^{2}}$=3．
綜上所述，存在點(diǎn)E（0，0），使得$\frac{1}{|EA{|}^{2}}+\frac{1}{|EB{|}^{2}}$為定值3．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率和方程的運(yùn)用，聯(lián)立直線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查化簡整理的運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．