Question

14．如圖，在橢圓中，A′A，B′B分別是長(zhǎng)軸，短軸，P₁P₂P₃P₄是各邊皆平行于對(duì)稱(chēng)軸的內(nèi)接矩形，四邊形A′B′AB，P₁P₂P₃P₄的面積分別記作Q，S．求證：S≤Q．

Answer 1

分析 AA'的中點(diǎn)為原點(diǎn)，以AA'為x軸，BB'為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=acosα}\\{y=bsinα}\end{array}\right.$（0≤α＜2π），由對(duì)稱(chēng)性設(shè)出P₁P₂P₃P₄的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再由矩形的面積公式和二倍角公式，結(jié)合正弦函數(shù)的值域可得最大值，即可得證．

解答 證明：AA'的中點(diǎn)為原點(diǎn)，以AA'為x軸，
BB'為y軸建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=acosα}\\{y=bsinα}\end{array}\right.$（0≤α＜2π），
設(shè)P₁（acosα，bsinα），由對(duì)稱(chēng)性，
可得P₂（-acosα，bsinα），P₃（-acosα，-bsinα），
P₄（acosα，-bsinα），
即有S=2acosα•2bsinα=2ab（2sinαcosα）=2absin2α，
由sin2α≤1，可得S≤2ab，當(dāng)2α=$\frac{π}{2}$，
即α=$\frac{π}{4}$時(shí)，S取得最大值2ab，
又A（a，0），A'（-a，0），B（0，b），B'（0，-b），
即有Q=$\frac{1}{2}$•2a•2b=2ab，
則有S≤Q．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的參數(shù)方程的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．