Question

7．如圖，設(shè)P是上半橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（y≥0）上任意一點，F(xiàn)為右焦點，PF的最小值是$\sqrt{2}$-1，離心率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，上半橢圓C與x軸交于點A₁，A₂．
（1）求出a²，b²的值；
（2）設(shè)P是上半橢圓C上位于第一象限內(nèi)的任意一點，過A₂作A₂R⊥A₁P于R，設(shè)A₂R與曲線C交于Q，求直線PQ斜率的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，PF的最小值為a-c=$\sqrt{2}$-1，解方程可得a，c，由a，b，c的關(guān)系即可得到b，可得所求值；
（2）先考察一般性，直線A₁P的方程是y=k（x+a），與橢圓方程聯(lián)立，求得P，Q的坐標(biāo)，可得直線PQ斜率，即可求出取值范圍．

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
PF的最小值為a-c=$\sqrt{2}$-1，
解得a=$\sqrt{2}$，c=1，b=1，
即有a²=2，b²=1；
（2）為了減少計算量，先考察一般性．
設(shè)曲線C的方程是$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0，y≥0），直線A₁P的斜率是k，
因為P是曲線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點，所以k∈（0，$\frac{a}$），
設(shè)P，Q的坐標(biāo)分別是（x₁，y₁），（x₂，y₂），則直線A₁P的方程是y=k（x+a），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+a）}\\{^{2}{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}={a}^{2}^{2}}\end{array}\right.$消去y得，
（a²k²+b²）x²+2a³k²x+a²（a²k²-b²）=0，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{a（^{2}-{a}^{2}{k}^{2}）}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}}\\{{y}_{1}=\frac{2a^{2}k}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}}\end{array}\right.$．
將上式中的a換成-a，k換成-$\frac{1}{k}$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{a（{a}^{2}-^{2}{k}^{2}）}{{a}^{2}+^{2}{k}^{2}}}\\{{y}_{2}=\frac{2a^{2}k}{{a}^{2}+^{2}{k}^{2}}}\end{array}\right.$．
又上式中的a=$\sqrt{2}$，b=1，代入可解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{\sqrt{2}（1-2{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}}\\{{y}_{1}=\frac{2\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}}\end{array}\right.$，
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{\sqrt{2}（2-{k}^{2}）}{2+{k}^{2}}}\\{{y}_{2}=\frac{2\sqrt{2}k}{2+{k}^{2}}}\end{array}\right.$，
所以k_PQ=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{1}{3}$（k-$\frac{1}{k}$），
因為g（k）=k-$\frac{1}{k}$在（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）上單調(diào)遞增，
所以k_PQ∈（-∞，-$\frac{\sqrt{2}}{6}$）．

點評 本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查斜率的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．