Question

19．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，MN是經(jīng)過橢圓左焦點(diǎn)F的任一弦，AB是經(jīng)過橢圓中心O且平行于MN的弦．
（Ⅰ）若$2\overrightarrow{MF}=5\overrightarrow{FN}$，求弦MN所在直線的斜率；
（Ⅱ）證明：|AB|是|MN|和橢圓長軸2a的等比中項(xiàng)．

Answer 1

分析 （I）e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{c}{a}$，設(shè)a=3m，則c=$\sqrt{3}$m，b²=a²-c²=6m²．可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：2x²+3y²=18m²．設(shè)直線l的方程為：ty-$\sqrt{3}$m=x，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立化為（2t²+3）y²-4$\sqrt{3}$tmy-12m²=0，由$2\overrightarrow{MF}=5\overrightarrow{FN}$，可得-2y₁=5y₂，與根與系數(shù)的關(guān)系聯(lián)立即可解出．
（II）直線AB的方程為：ty=x，與橢圓方程聯(lián)立解得y²，x²，可得|AB|²=4（x²+y²）．利用弦長公式可得|MN|=$\sqrt{（1+{t}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$，即可證明．

解答 （I）解：∵e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{c}{a}$，設(shè)a=3m，則c=$\sqrt{3}$m，b²=a²-c²=6m²．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{9{m}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{6{m}^{2}}$=1，即2x²+3y²=18m²．
設(shè)直線l的方程為：ty-$\sqrt{3}$m=x，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{ty-\sqrt{3}m=x}\\{2{x}^{2}+3{y}^{2}=18{m}^{2}}\end{array}\right.$，化為（2t²+3）y²-4$\sqrt{3}$tmy-12m²=0，
∴y₁+y₂=$\frac{4\sqrt{3}tm}{2{t}^{2}+3}$，y₁y₂=$\frac{-12{m}^{2}}{2{t}^{2}+3}$，
∵$2\overrightarrow{MF}=5\overrightarrow{FN}$，
∴-2y₁=5y₂，
解得y₂=$\frac{-8\sqrt{3}tm}{3（2{t}^{2}+3）}$，y₁=$\frac{20\sqrt{3}tm}{3（2{t}^{2}+3）}$，
∴$\frac{-160×3{t}^{2}{m}^{2}}{9（2{t}^{2}+3）^{2}}$=$\frac{-12{m}^{2}}{2{t}^{2}+3}$，
化為：t²=$\frac{27}{22}$，解得t=±$\frac{3\sqrt{66}}{22}$．
（II）證明：直線AB的方程為：ty=x，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{ty=x}\\{2{x}^{2}+3{y}^{2}=18{m}^{2}}\end{array}\right.$，解得y²=$\frac{18{m}^{2}}{2{t}^{2}+3}$，x²=$\frac{18{t}^{2}{m}^{2}}{2{t}^{2}+3}$，
∴|AB|²=4（x²+y²）=$\frac{72{m}^{2}（1+{t}^{2}）}{2{t}^{2}+3}$．
|MN|=$\sqrt{（1+{t}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=$\sqrt{（1+{t}^{2}）[\frac{48{t}^{2}{m}^{2}}{（2{t}^{2}+3）^{2}}-\frac{-48{m}^{2}}{2{t}^{2}+3}]}$=$\frac{12m（1+{t}^{2}）}{2{t}^{2}+3}$，
∴|MN|•2a=$\frac{12m（1+{t}^{2}）}{2{t}^{2}+3}$×2×3m=$\frac{72{m}^{2}（1+{t}^{2}）}{2{t}^{2}+3}$，
∴|MN|•2a=|AB|²．
∴|AB|是|MN|和橢圓長軸2a的等比中項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、向量共線定理坐標(biāo)運(yùn)算、等比中弦，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．