Question

6．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，點M，N分別為BC，PA的中點，且PA=AD=2，AB=1，AC=$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）證明：MN∥平面PCD；
（Ⅱ）求直線MN與平面PAD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PD中點E，連結(jié)NE，CE，可證MNEC為平行四邊形，由MN∥CE即可判定MN∥平面PCD．（其它證法酌情給分）
（Ⅱ）方法一：可證平面PAD⊥平面ABCD，過M作MF⊥AD，則MF⊥平面PAD，連結(jié)NF．則∠MNF為直線MN與平面PAD所成的角，解三角形可得解；
方法二：PA⊥AB，PA⊥AC，又可證AB⊥AC，分別以AB，AC，AP為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，設(shè)平面PAD的一個法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$，則設(shè)MN與平面PAD所成的角為θ，則由夾角公式即可求得MN與平面PAD所成角的正切值．

解答 解：（Ⅰ）證明：取PD中點E，連結(jié)NE，CE．∵N為PA中點，∴NE$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}AD$，
又M為BC中點，底面ABCD為平行四邊形，∴MC$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}AD$．
∴NE$\stackrel{∥}{=}$MC，即MNEC為平行四邊形，…（4分）
∴MN∥CE∵EC?平面PCD，且MN?平面PCD，∴MN∥平面PCD．      …（7分）
（其它證法酌情給分）
（Ⅱ）方法一：∵PA⊥平面ABCD，PA?平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，
過M作MF⊥AD，則MF⊥平面PAD，連結(jié)NF．
則∠MNF為直線MN與平面PAD所成的角，…（10分）
由AB=1，$AC=\sqrt{3}$，AD=2，得AC⊥CD，
由AC•CD=AD•MF，得$MF=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
在Rt△AMN中，AM=AN=1，得$MN=\sqrt{2}$．
在Rt△MNF中，$NF=\sqrt{M{N^2}-M{F^2}}=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，∴$tan∠MNF=\frac{MF}{FN}=\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{\frac{{\sqrt{5}}}{2}}}=\frac{{\sqrt{15}}}{5}$，
直線MN與平面PAD所成角的正切值為$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$． …（15分）
方法二：∵PA⊥平面ABCD，PA⊥AB，PA⊥AC，
又∵AB=1，$AC=\sqrt{3}$，BC=AD=2，∴AB²+AC²=BC²，AB⊥AC．      …（9分）
如圖，分別以AB，AC，AP為x軸，y軸，z軸，
建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，
則$M（\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，0）$，N（0，0，1），P（0，0，2），$D（-1，\sqrt{3}，0）$，∴$\overrightarrow{MN}=（-\frac{1}{2}，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1）$，$\overrightarrow{AP}=（0，0，2）$，$\overrightarrow{AD}=（-1，\sqrt{3}，0）$，…（11分）
設(shè)平面PAD的一個法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$，則
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow n=0\\ \overrightarrow{AD}•\overrightarrow n=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}2z=0\\-x+\sqrt{3}y=0\end{array}\right.$，令y=1得$\overrightarrow n=（\sqrt{3}，1，0）$，…（13分）
設(shè)MN與平面PAD所成的角為θ，則$sinθ=|{cos＜\overrightarrow{MN}，\overrightarrow n＞}|=\frac{{\sqrt{3}}}{{2\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{4}$$⇒tanθ=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，∴MN與平面PAD所成角的正切值為$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．…（15分）

點評 本題主要考查了線與平面平行的判定，求直線MN與平面PAD所成角的正切值，關(guān)鍵在于熟練掌握平面垂直的性質(zhì)與直線與平面平行的判定定理及其應(yīng)用，考查了空間想象能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．