Question

12．使得（x+$\sqrt{3}$i）³=log${\;}_{\sqrt{2}}$$\frac{1}{16}$成立的實(shí)數(shù)x為±1．

Answer 1

分析 根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)（x+$\sqrt{3}$i）³=log${\;}_{\sqrt{2}}$$\frac{1}{16}$，轉(zhuǎn)化為$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}-9x=0}\\{3{\sqrt{3}x}^{2}-3\sqrt{3}=0}\end{array}\right.$，求出x的值即可．

解答 解：∵（x+$\sqrt{3}$i）³=log${\;}_{\sqrt{2}}$$\frac{1}{16}$=${log}_{{2}^{\frac{1}{2}}}$2^-4=$\frac{-4}{\frac{1}{2}}$=-8，
∴x³+3x²•$\sqrt{3}$i+3x•${（\sqrt{3}i）}^{2}$+${（\sqrt{3}i）}^{3}$=-8，
即（x³-9x）+（3$\sqrt{3}$x²-3$\sqrt{3}$）i=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}-9x=0}\\{3{\sqrt{3}x}^{2}-3\sqrt{3}=0}\end{array}\right.$，
解得x=±1．
故答案為：±1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了計(jì)算能力與邏輯推理能力的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．