4.已知函數(shù)f(x)=2(sinx-cosx)-sin2x-1.
(1)當(dāng)x∈R時.求f(x)的值域;
(2)當(dāng)x∈[0,$\frac{π}{2}$]時,求f(x)的值域.

分析 (1)令t=sinx-cosx,由三角函數(shù)值域可得t∈[-$\sqrt{2}$,$\sqrt{2}$],sin2x=1-t2,換元可得y=(t+1)2-3,由二次函數(shù)區(qū)間的值域可得;
(2)當(dāng)x∈[0,$\frac{π}{2}$]時,t=$\sqrt{2}$sin(x-$\frac{π}{4}$)∈[-1,1],由二次函數(shù)區(qū)間的值域可得.

解答 解:(1)令t=sinx-cosx=$\sqrt{2}$sin(x-$\frac{π}{4}$)∈[-$\sqrt{2}$,$\sqrt{2}$],
∴t2=1-2sinxcosx=1-sin2x,∴sin2x=1-t2,
換元可得y=2t-(1-t2)-1=t2+2t-2=(t+1)2-3,
由二次函數(shù)可知當(dāng)t=-1時,函數(shù)取最小值-3,
當(dāng)t=$\sqrt{2}$時,函數(shù)取最大值2$\sqrt{2}$,
∴當(dāng)x∈R時.求f(x)的值域為[-3,2$\sqrt{2}$];
(2)當(dāng)x∈[0,$\frac{π}{2}$]時,t=$\sqrt{2}$sin(x-$\frac{π}{4}$)∈[-1,1]
∴對二次函數(shù)y=(t+1)2-3,
當(dāng)t=-1時,函數(shù)取最小值-3,
當(dāng)t=1時,函數(shù)取最大值1,
∴當(dāng)x∈R時.求f(x)的值域為[-3,1]

點評 本題考查三角函數(shù)恒等變換,涉及三角函數(shù)的值域和換元法以及二次函數(shù)區(qū)間的最值,屬中檔題.

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