Question

7．點F為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點，以F為焦點的拋物線y²=2px（p＞0）交雙曲線于A，B兩點，且$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{FB}$，則雙曲線的離心率為1+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)F（c，0），由$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{FB}$，可得F為AB的中點，即AB⊥x軸，可得p=2c，令x=c代入雙曲線的方程，求得AF；再令x=$\frac{p}{2}$，代入拋物線的方程，可得AF，再由a，b，c的關(guān)系和離心率公式，計算即可得到所求值．

解答 解：設(shè)F（c，0），由$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{FB}$，可得F為AB的中點，
即AB⊥x軸，由題意可得c=$\frac{p}{2}$，即p=2c，
令x=c代入雙曲線的方程可得y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{^{2}}{a}$，
又令x=$\frac{p}{2}$，代入拋物線的方程可得y²=p²，可得y=±p，
即有2c=$\frac{^{2}}{a}$，即b²=2ac，
即c²-2ac-a²=0，可得e²-2e-1=0，
解得e=1+$\sqrt{2}$（負(fù)的舍去），
故答案為：1+$\sqrt{2}$．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用雙曲線和拋物線的方程，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．