Question

【題目】已知橢圓的左頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與左、右頂點(diǎn)重合），且的周長(zhǎng)為6，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，直線交于點(diǎn).

（1）求橢圓方程；

（2）若直線與橢圓交于另一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）根據(jù)的周長(zhǎng)為，結(jié)合離心率，求出，即可求出方程；

（2）設(shè)，則，求出直線方程，若斜率不存在，求出坐標(biāo)，直接驗(yàn)證是否滿足題意，若斜率存在，求出其方程，與直線方程聯(lián)立，求出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)和三點(diǎn)共線，將點(diǎn)坐標(biāo)用表示，坐標(biāo)代入橢圓方程，即可求解.

（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，的周長(zhǎng)為6，

設(shè)橢圓的焦距為，則

解得，，，

所以橢圓方程為.

（2）設(shè)，則，且，

所以的方程為①.

若，則的方程為②，由對(duì)稱性不妨令點(diǎn)在軸上方，

則，，聯(lián)立①，②解得即.

的方程為，代入橢圓方程得

，整理得，

或，.

，不符合條件.

若，則的方程為，

即③.

聯(lián)立①，③可解得所以.

因?yàn)?/span>，設(shè)

所以，即.

又因?yàn)?/span>位于軸異側(cè)，所以.

因?yàn)?/span>三點(diǎn)共線，即應(yīng)與共線，

所以，即，

所以，又，

所以，解得，所以，

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或.