Question

8．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx滿足f（0）=f（1），且f（x）的最小值為-$\frac{1}{4}$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若不等式f（x）≥tx-1對x∈[$\frac{1}{2}$，3]恒成立，求實數(shù)t的取值范圍；
（3）設(shè)g（x）=$\frac{f（x）+1}{x}$，若方程g（x）=t-1在x∈[$\frac{1}{2}$，3]有實根，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx滿足f（0）=f（1），且f（x）的最小值為-$\frac{1}{4}$，構(gòu)造方程組，求出a，b的值，可得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若不等式f（x）≥tx-1對x∈[$\frac{1}{2}$，3]恒成立，則x+$\frac{1}{x}$-1≥t對x∈[$\frac{1}{2}$，3]恒成立，結(jié)合對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得實數(shù)t的取值范圍；
（3）g（x）=$\frac{f（x）+1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$-1，結(jié)合對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得g（x）的值域為[1，$\frac{7}{3}$]，進而得到答案．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)f（x）=ax²+bx滿足f（0）=f（1），且f（x）的最小值為-$\frac{1}{4}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\-\frac{2a}=\frac{1}{2}\\ \frac{-^{2}}{4a}=-\frac{1}{4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-1\end{array}\right.$，
∴f（x）=x²-x；
（2）若不等式f（x）≥tx-1對x∈[$\frac{1}{2}$，3]恒成立，
即x²-x≥tx-1對x∈[$\frac{1}{2}$，3]恒成立，
即x+$\frac{1}{x}$-1≥t對x∈[$\frac{1}{2}$，3]恒成立，
∵當(dāng)x=1時，x+$\frac{1}{x}$-1取最小值1，故t≤1；
（3）g（x）=$\frac{f（x）+1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$-1，
當(dāng)x=1時，g（x）取最小值1，當(dāng)x=3時，g（x）取最大值$\frac{7}{3}$，
若方程g（x）=t-1在x∈[$\frac{1}{2}$，3]有實根，
則t-1∈[1，$\frac{7}{3}$]，
故t∈[2，$\frac{10}{3}$]．

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．